Psicometria (11/27): Modello teorico di analisi fattoriale

L'analisi fattoriale esamina la varianza che le variabili hanno in comune (varianza comune), e l'ipotesi di base è che la correlazione tra le variabili sia determinata da dimensioni non osservabili (i fattori) che causano i punteggi delle variabili osservate.

Il punteggio standardizzato ottenuto da un soggetto in una variabile, può essere espresso come la somma ponderata del punteggio ottenuto dallo stesso soggetto: nei fattori comuni e nel fattore unico (o unicità della variabile), che riflette ciò che le variabili non condividono.
Ogni fattore comune può influenzare più di una variabile osservata, mentre ogni fattore unico può influenzare una sola variabile osservata.
L'equazione che descrive questo modello:

Z_ik=F_i1a_k1+F_i2a_k2+...+F_ima_km+u_ik

Dove: Z_ik è il punteggio standardizzato per la persona i nella variabile k.
F_i1 è il punteggio standardizzato per la persona i nel fattore comune 1.
a_k1 è la saturazione fattoriale (factor loading) della variabile k nel fattore comune 1, cioè il coefficiente che misura la relazione tra la variabile osservata e il fattore.
u_ik è il punteggio standardizzato per la persona i nel fattore unico associato alla variabile k

L'espressione matriciale dell'equazione, considerando n soggetti, k variabili e m fattori comuni è:

Z=FA'+U

Dove: Z è la matrice dei punteggi standardizzati nelle variabili.
F è la matrice dei punteggi nei fattori comuni.
A è la matrice della saturazioni delle variabili nei fattori comuni.
U è la matrice dei fattori unici per ogni soggetto in ogni variabile.

Con variabili standardizzate, la nostra equazione consente di scomporre la varianza come segue:

Varianza totale = Varianza Comune + Varianza Unica = b²+u²=1

Inoltre:

Comunalità = b² = Varianza Totale - Varianza Unica = 1-u²

e:

Unicità (o varianza unica) = u² = Varianza Totale - Varianza Comune = 1-b²

La comunalità di una variabile è la parte di varianza totale di una variabile che viene spiegata dai fattori comuni,e l'unicità della variabilite è la parte di varianza totale di una variabile che non viene spiegata dai fattori comuni.

Φ (fi) è la matrice di correlazione tra i fattori comuni: Φ=I

La matrice delle correlazioni tra le variabili standardizzate (R) si ottiene:

R=Z'Zn^-1

Inoltre, l'equazione fondamentale dell'analisi fattoriale è R=AA'+U²

Dove: A è la matrice delle saturazioni nei fattori comuni e U² è la matrice diagonale che contiene la varianza unica di ogni variabile.
Il prodotto delle matrici AA' consente di rendere conto degli elementi fuori della diagonale principale, e della comunalità di ogni variabile, mentre la matrice U² serve a rendere conto degli elementi sulla diagonale principale di R.


Date due variabili i e j, la loro correlazione si può riprodurre con la somma dei prodotti delle loro saturazioni in ciascuno dei fattori comuni:
se i!=j  allora r_ij=a_i1a_j1+a_i2a_j2+...a_ima_jm = Σa_ira_jr
se i=j  allora r_ii=a_i1a_i1+a_i2a_i2+...a_ima_im+u_i² = Σa_ira_ir+u_i²

L'equazione fondamentale dell'analisi fattoriale (Thurstone, 1947) afferma che la matrice delle correlazioni tra le variabili (il punto di partenza dell'analisi fattoriale) è uguale al prodotto di una matrice di saturazioni fattoriali (punto di arrivo) e della sua trasposta (+ l'aggiunta del residuo che tiene conto della varianza unica delle variabili).

Per riprodurre le correlazioni tra le variabili fuori dalla diagonale principale sono necessari solo i fattori comuni (AA'), mentre per riprodurre anche gli elementi sulla diagonale principale (la varianza totale delle variabili) sono necessarie anche le unicità (U²).

L'equazione fondamentale dell'analisi fattoriale è dunque:

R₁=AA'
R=R₁+U²=AA'+U²

Dove R1 è la matrice delle correlazioni senza gli elementi sulla diagonale principale, inoltre di solito la matrice delle correlazioni tra le variabili riprodotta con le saturazioni fattoriali viene indicata come R^ e R*.

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